$if \sin \theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta =m \cos \theta$ এবং $\sin \theta -\frac{1}{2}\sin 2\theta =n \cos \theta$ হলে $m^2-n^2$=?

4√mn।

প্রদত্ত সমীকরণগুলি থেকে,

sin θ + 1/2 sin2 θ = m cos θ sin θ - 1/2 sin2 θ = n cos θ

প্রথম সমীকরণটিকে দুইবার গুণ করলে পাওয়া যায়,

sin2 θ + 1/2 sin4 θ + sin θ = 2m cos2 θ sin2 θ + 1/2 sin4 θ + sin θ = 2m(1 - sin2 θ)

sin4 θ - 2m sin2 θ + 2m + 1 = 0

দ্বিতীয় সমীকরণটিকে দুইবার গুণ করলে পাওয়া যায়,

sin2 θ - 1/2 sin4 θ - sin θ = 2n cos2 θ sin2 θ - 1/2 sin4 θ - sin θ = 2n(1 - sin2 θ)

sin4 θ + 2n sin2 θ - 2n - 1 = 0

এই দুটি সমীকরণের সমষ্টি নিলে পাওয়া যায়,

2 sin4 θ + 2mn = 0

sin4 θ = -mn

sin2 θ = ± √(-mn)

sin2 θ = ± √mn

সুতরাং,

m2 - n2 = (sin2 θ + n2) - (sin2 θ - n2)

= 2 sin2 θ

= 2√mn

অতএব, উত্তর হল 4√mn।